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]{zremark}{说明}


\begin{document}
\title{9.7 习题}
\author{张志聪}
\maketitle

\section*{9.7.1}

由命题9.6.7（最大值原理）可知，存在$x_{max} \in [a, b]$使得$f(x_{max}) = M$，
类似地，存在$x_{min} \in [a, b]$使得$f(x_{min}) = m$。

由习题9.4.6可知$f$在$[x_{min}, x_{max}]$（这里假设$x_{min} \leq x_{max}$，其他证明类似）上也是连续的。
由定理9.7.1（介值定理）可知，任意$y \in [m, M]$（即：$m \leq y \leq M$）
都存在$c \in [x_{min}, x_{max}]$（此时$c \in [a, b]$也是成立的）使得$f(c) = y$。

\section*{9.7.2}

定义函数$g$如下：
\begin{align*}
  g(x) := f(x) - x
\end{align*}
其中函数$g$的定义域为$[0, 1]$。因为$f,x$都是$[0, 1]$上的连续函数，
由命题9.4.9可知，于是函数$g$也是$[0, 1]$上的连续函数。

思路是证明存在$x \in [0, 1]$使得$g(x) \leq 0$（$g(x) \geq 0$），然后利用介值定理。

\begin{itemize}
  \item 存在$x \in [0, 1]$使得$g(x) \leq 0$。

        当$x = 1$时，$g(1) = f(1) - 1$，因为函数$f$的值域是$[0, 1]$，即任意$x \in [0, 1]$都满足$0 \leq f(x) \leq 1$，
        所以$g(1) \leq 0$。

  \item 存在$x \in [0, 1]$使得$g(x) \geq 0$。

        当$x = 0$时，$g(0) = f(0) - 0$，因为函数$f$的值域是$[0, 1]$，即任意$x \in [0, 1]$都满足 $ 0 \leq f(x) \leq 1$，
        所以$g(0) \geq 0$。
\end{itemize}

因为$g(0) \leq 0 \leq g(1)$，且$g$是$[0, 1]$上的连续函数，
由定理9.7.1（介值定理）可知，存在$c \in [0, 1]$使得$g(c) = 0$，此时$f(c) = c$。

\end{document}
